Теорема Вариньона.

Теорема Вариньона. 1 подготовка к ОГЭ, ЕГЭ и олимпиадам по математике

Теорема. Середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма, стороны которого равны половинам диагоналей данного четырехугольника, а площадь — половине площади данного четырехугольника.

Пример.

Теорема Вариньона. 2 подготовка к ОГЭ, ЕГЭ и олимпиадам по математике

Доказательство.

HE — средняя линия треугольника ABD. Следовательно, HE||BD и HE=0,5·BD.

FG — средняя линия треугольника BCD. Следовательно, FG||BD и FG=0,5·BD.

Следовательно, отрезки HE и FG равны и параллельны, следовательно HEFGпараллелограмм.

Докажем, что площадь параллелограмма HEFG равна половине площади четырехугольника.

Пусть BD∩AC=O, тогда

SABCD=0,5·AC·BD·sin∠BOC

SHEFG=HG·HE·sin∠EHG

Пусть EH∩AC=K, тогда ∠BOC=∠EKC как соответственные углы при параллельных прямых HE и BD и секущей AC.

∠EKC=∠EHG как соответственные углы при параллельных прямых AC и HG и секущей EH.

Следовательно, ∠BOC=∠EHG.

SHEFG=HE·HG·sin∠EHG;

SHEFG=HE·HG·sin∠BOC;

SHEFG=0,5·AC·0,5·BD·sin∠BOC;

SHEFG=0,5·0,5·AC·BD·sin∠BOC;

SHEFG=0,5·SABCD.

Подписаться
Уведомление о
0 Комментарий
Inline Feedbacks
View all comments