Текстовые задачи с экономическим содержанием на ЕГЭ. Вклады.

Задача 1. Мария Сергеевна планирует накопить на машину. Для этого она открыла вклад на четыре года по ставке 10% годовых. Выплата процентов раз в год. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером на начало года. Первоначальный вклад составил 300 000 рублей. Каждый месяц Мария Сергеевна планирует класть n рублей на вклад. Какую наименьшую целую сумму ей необходимо класть на вклад каждый месяц, чтобы через четыре года вклад был более 3 млн рублей?

Решение.

Распишем, что будет происходить с вкладом в первый год. Сначала на вкладе находится 300000, каждый месяц к первоначальной сумме прибавляется n рублей. Под конец 12 месяца на вкладе будет: 300000+12 \cdot n рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером на начало года, поэтому на начало второго года на вкладе будет: (300000+12 \cdot n)\cdot 1,1 рублей. 

На начало третьего: ((300000+12 \cdot n)\cdot 1,1+12 \cdot n)\cdot 1,1.

На начало четвертого: (((300000+12 \cdot n)\cdot 1,1+12 \cdot n)\cdot 1,1+12 \cdot n)\cdot 1,1.

На начало пятого: ((((300000+12 \cdot n)\cdot 1,1+12 \cdot n)\cdot 1,1+12 \cdot n)\cdot 1,1+12 \cdot n)\cdot 1,1.

Необходимо, чтобы через четыре года вклад был более 3 млн рублей.

((((300000+12 \cdot n)\cdot 1,1+12 \cdot n)\cdot 1,1+12 \cdot n)\cdot 1,1+12 \cdot n)\cdot 1,1>3000000

300000\cdot 1,1^4+12n\cdot(1,1^4+1,1^3+1,1^2+1,1)>3000000

12n\cdot(1,1^4+1,1^3+1,1^2+1,1)>3000000-439 230

Замечаем, что в скобках находится сумма геометрической прогрессии с первым членом 1,1 и знаменателем 1,1.

12n\cdot 1,1\cdot\frac{1,1^4-1}{1,1-1}>2 560 770

n\cdot 1,1\cdot\frac{0,4641}{0,1}>213 397,5

n\cdot 1,1\cdot 4,641>213 397,5

n>41 800,8462

n — наименьшее целое число, большее 41 800. Следовательно, n=41 801.

Ответ: 41 801.

Задача 2. Средняя зарплата Алексея 50000 рублей в месяц. Он решил каждый месяц 10 числа откладывать 10% своей зарплаты на вклад под 13% годовых. Выплата процентов раз в год. В конце каждого года вклад увеличивается на 13% по сравнению с его размером на начало года. Сколько рублей будет на вкладе у Алексея через 10 лет, если первоначальная сумма вклада равнялась 100000 рублей и открыл он его 1 числа? Результат округлите до целого числа с недостатком.

Решение.

Найдем 10% от средней зарплаты Алексея: 50 000\cdot0,1=5000.

За год он положит на вклад: 5000 \cdot 12=60 000.

В конце каждого года вклад увеличивается на 13%:

    \[((100 000 + 60 000)\cdot1,13+60000)\cdot1,13+\ldots+60000)\cdot1,13=\]

    \[=100 000\cdot1,13^{10}+60000(1,13^{10}+1,13^9+\ldots+1,13^1)=\]

    \[=339 456,738992222314849+60000(1,13 \cdot \frac{1,13^{10}-1}{1,13-1})=\]

    \[=339 456,738992222314849+1 248 858,9925902056112894=\]

    \[=1 588 315,7315824279261384.\]

Ответ: 1 588 315.

Подписаться
Уведомление о
guest
0 Комментарий
Inline Feedbacks
View all comments