Треугольник.

Треугольником называется геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Отрезки, образующие треугольник, называются сторонами треугольника, а их общие концы — вершинами треугольника.

Признаки равенства треугольников

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Признаки подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Сумма углов треугольника равна 180°.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.
Напротив большей стороны треугольника лежит больший угол, а напротив большего угла большая сторона.
Напротив меньшей стороны треугольника лежит меньший угол, а напротив меньшего угла меньшая сторона.
Отношения сторон к синусу противоположных углов постоянно и равняется диаметру описанной окружности (теорема синусов).
Квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов длин других сторон минус удвоенное произведение длин этих сторон на косинус угла между ними (теорема косинусов).
Разность двух сторон треугольника относится к их сумме, как тангенс полуразности противолежащих углов к тангенсу полусуммы этих углов (теорема тангенсов).

Площадь треугольника

Площадь треугольника через сторону $(a)$ и высоту $(h)$ , проведенную к этой стороне:

$S=\frac{h \cdot a}{2}.$

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и полупериметр $(p=\frac{a+b+c}{2})$ :

$S=p \cdot r.$

Площадь треугольника через радиус вневписанной окружности и полупериметр:

$S=(p-a)\cdot r_a=(p-b)\cdot r_b=(p-c)\cdot r_c.$

Площадь треугольника через радиусы вневписанных окружностей и радиус вписанной окружности:

$S=\sqrt{r_a \cdot r_b \cdot r_c \cdot r}$

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и стороны:

$S=\frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot R}.$

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

$S=\frac{a \cdot b \cdot \sin{\alpha}}{2}$

Площадь треугольника через высоту и сторону:

$S=\frac{a \cdot h_a}{2}$

Площадь треугольника через длины сторон и полупериметр (формула Герона):

$S=\sqrt{p \cdot (p-a) \cdot (p-b) \cdot (p-c)}$

Интересная теорема об отношении площадей треугольников, имеющих равный угол:

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Замечательные точки треугольника

Инцентр треугольника — точка пересечения биссектрис треугольника. Инцентр является центром вписанной окружности.

Центроид треугольника — точка пересечения медиан треугольника.

Ортоцентр треугольник — точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника.

Про другие замечательные точки и прямые треугольника вы можете прочитать здесь.

Вам будет интересно