Векторы и координаты на плоскости.

Векторы и координаты на плоскости. 1 подготовка к ОГЭ, ЕГЭ и олимпиадам по математике

Координата точки — это место точки на плоскости. Она задается двумя числами — абсциссой и ординатой. Чтобы найти координаты точки на плоскости, нужно опустить из этой точки перпендикуляры на оси координат. Точка пересечения перпендикуляра с осью Ox называется абсциссой точки, а точка пересечения с осью Oy — ординатой точки.

Обозначение: M(x;y), где x — абсцисса точки, а y — ордината точки.

Отрезок на плоскости задается двумя точками (концами отрезка). Длину отрезка с концами в точках с координатами (x_{1};y_{1}) и (x_{2};y_{2}) можно найти по формуле:

    \[d=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}}\]

Координату середины отрезка можно найти по следующей формуле:

    \[M(x;y)=\left (\frac{x_{1}+x_{2}}{2};\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right )\]

Координату точки, делящей отрезок в отношении m:n=\lambda, можно найти по следующим формулам:

    \[N(x;y)=\left ( \frac{n \cdot x_{1}+m \cdot \ x_2}{n+m};\frac{n \cdot y_{1}+m \cdot  y_{2}} {n+m} \right )\]

    \[N(x;y)=\left ( \frac{x_{1}+\lambda \cdot \ x_2}{1+\lambda};\frac{y_{1}+\lambda \cdot y_{2}} {1+\lambda} \right )\]

Вектор — направленный отрезок. Графически, начало вектора обозначается точкой, а конец — стрелкой. Вектор на плоскости с началом в точке с координатой (x_{1};y_{1}) и концом в точке с координатой (x_{2};y_{2}) имеет координату: (x_{2}-x_{1};y_{2}-y_{1}).

Нулевым вектором называется вектор, у которого начало и конец совпадают.

Длиной или модулем вектора называется неотрицательное число, равное длине отрезка, который задает вектор. Длина нулевого вектора равна нулю.

Длина вектора с координатой (x;y) равна:

    \[d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}}\]

Два вектора на плоскости называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. В противном случае векторы называются неколлинеарными.

Два коллинеарных вектора называются сонаправленными, если их направление совпадает.

Два коллинеарных вектора называются противоположно направленными, если их направление не совпадает.

Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, результатом которой является число.

Скалярное произведение двух векторов можно вычислить по следующим формулам:

    \[(\vec{a}(x_{1};y_{1});\vec{b}(x_{2};y_{2}))=x_{1} \cdot x_{2}+y_{1} \cdot y_{2}\]

    \[(\vec{a}(x_{1};y_{1});\vec{b}(x_{2};y_{2}))=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}} \cdot \cos \alpha\]

, где \alpha — угол между векторами.

Следовательно, угол между векторами можно вычислить зная их скалярное произведение и длину:

    \[\cos \alpha=\frac {(\vec{a}(x_{1};y_{1});\vec{b}(x_{2};y_{2}))} {\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}}}\]

Подписаться
Уведомление о
guest
0 Комментарий
Inline Feedbacks
View all comments