подготовка к ОГЭ, ЕГЭ и олимпиадам по математике
Инцентр — точка пересечения биссектрис треугольника. Инцентр является центром вписанной окружности.
Свойства:
Центроид треугольника — точка пересечения медиан треугольника.
Свойства:
Ортоцентр — точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника.
Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.
Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.
Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.
Свойства:
Теорема.
Основания перпендикуляров, опущенных из точки описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой.
Эта прямая называется прямой Симсона.
Доказательство.
Четырехугольник AEFD — вписанный в окружность с диаметром AD, так как ∠AED=∠AFD=90°. Следовательно, ∠AFE=∠ADE.
Четырехугольник DFCG — вписанный, так как ∠DFC+∠DGC=180°. Следовательно, ∠CFG=∠CDG.
∠BAD+∠DCB=180° (свойство вписанного четырехугольника ABCD).
∠DCG=180°-∠DCB (свойство смежных углов).
Следовательно, ∠EAD=∠BAD=180°-∠DCB=∠DCG.
90°-∠CFG=90°-∠CDG=∠DCG=∠EAD=90°-∠ADE=90°-∠AFE.
Итак, ∠CFG=∠AFE. Следовательно, E, F, G лежат на одной прямой.
Точка Нагеля — точка пересечения чевиан, соединяющих вершины треугольника и точки пересечения сторон треугольника с соответствующими вневписанными окружностями.
Свойства:
Теорема.
Три чевианы, соединяющие вершины треугольника с точками пересечения вписанной окружности и сторон треугольника, пересекаются в одной точке.
Доказательство.
Пусть D, E, F — точки пересечения вписанной окружности и сторон треугольника BC, AC и AB соответственно.
AF=AE, BF=BD, CD=CE (свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки, к окружности).
Следовательно:
По теореме Чевы отрезки AD, BE и СF пересекаются в одной точке.
Точка Жергонна — точка пересечения чевиан треугольника, соединяющих вершины треугольника с точками пересечения вписанной окружности и сторон треугольника.
Теорема Жергонна.
Пусть G — точка Жергонна треугольника ABC и D, E, F — точки пересечения вписанной окружности и сторон треугольника BC, AC и AB соответственно. Тогда выполняются следующие равенства:
Симедиана треугольника — чевиана треугольника, симметричная медиане треугольника относительно биссектрисы угла, проведенной из того же угла, что и медиана данного треугольника.
На рисунке CC’, BB’ и AA’ — симедианы треугольника. Они симметричны медианам СD, BF и AE относительно биссектрис углов соответственно.
Основное свойство симедианы треугольника:
Отрезки, на которые симедиана делит противоположную сторону, пропорциональны квадратам прилежащих сторон.
Точка Лемуана — точка пересечения симедиан треугольника.
Свойства:
В любом треугольнике основания высот, середины сторон и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами, лежат на одной окружности с центром в середине отрезка OH и радиусом R/2.
В треугольнике по отношению к описанной окружности окружность девяти точек может располагаться следующим образом:
Утверждение 1:
Треугольники ABC, HBC, AHC, ABH имеют общую окружность 9 точек.
Утверждение 2:
Прямые Эйлера треугольников ABC, HBC, AHC, ABH пересекаются в одной точке.
Утверждение 3:
Центры описанных окружностей треугольников ABC, HBC, AHC, ABH образуют четырехугольник, симметричный четырехугольнику ABCH.
В треугольнике центр описанной окружности, ортоцентр и точка пересечения медиан лежит на одной прямой, и расстояние от центра описанной окружности до ортоцентра в три раза больше расстояния от центра описанной окружности до точки пересечения медиан.
Доказательство:
Пусть Н — ортоцентр, M — точка пересечения медиан, O — центр описанной окружности.
Треугольники ABC и EFD подобны по трем сторонам с коэффициентом подобия 2.
AH/EO=2/1 (отрезки высот подобных треугольников).
AM/ME=2/1 (свойство точки пересечения медиан треугольника).
Следовательно, AH/EO=AM/ME.
Пусть G — точка пересечения отрезков AE и OH.
Треугольники OEG и HAG подобны по 2 углам. Следовательно, GH/GO=AG/GE=AH/EO=2/1.
Следовательно, M=G.
Следствие 1:
Центр окружности, описанной около треугольника DEF является серединой отрезка OH.
Следствие 2:
Расстояние от вершины треугольника до его ортоцентра в два раза больше, чем расстояние от центра его описанной окружности до середины противолежащей стороны.
