Теорема о бабочке.

Теорема.

Через E — середину хорды MN провели хорды AC и BD. Пусть AD∩MN=F, а BC∩MN=G. Тогда FE=EG.

Доказательство.

Проведем серединные перпендикуляры к хордам AD, BC и MN. Серединные перпендикуляры к сторонам любого треугольника (в том числе к сторонам треугольника ADC, DBC и BMN) пересекаются в одной точке, центре описанной окружности. Пусть KO, LO и EO серединные перпендикуляры к хордам AD, BC и МN.

Рассмотрим ΔADE и ΔBCE:

  1. ∠ADE=∠ECB (вписанные углы, опирающиеся на дугу AB);
  2. ∠AED=∠BEC (вертикальные углы).

Следовательно, ΔADE подобен ΔBCE и ∠AKE=∠BLE.

Рассмотрим четырехугольник KFEO:  ∠FKO+∠FEO=90°+90°=180°. Следовательно, четырехугольник KFEO вписанный в окружность и ∠FKE=∠FOE.

Рассмотрим четырехугольник EGLO:  ∠GEO+∠GLO=90°+90°=180°. Следовательно, четырехугольник EGLO вписанный в окружность и ∠ELG=∠EOG.

∠FOE=∠FKE=∠AKE=∠BLE=∠GLE=∠GOE.

Следовательно, ΔOFG — равнобедренный с основанием FG, так как OE является биссектрисой и высотой ΔOFG.

FE=EG, так как в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию является также и медианой.

Подписаться
Уведомление о
0 Комментарий
Inline Feedbacks
View all comments